2. 数学的本质
数学依赖于逻辑和创造力，人们追求数学的目的既是为了各种实际应用，也是为了其本身的趣味性。对某些人而言，数学的精髓在于它的美感和智力挑战，而不仅仅是专业数学家。而对另一些人，包括许多科学家和工程师而言，数学的主要价值在于它如何应用于他们自身的工作。由于数学在现代文化中扮演着如此重要的角色，因此对数学本质的一些基本理解是科学素养的必要条件。为了达到这一目标，学生需要将数学视为科学探索的一部分，理解数学思维的本质，并熟悉关键的数学概念和技能。
人人享有科学
任何复杂的领域都无法用寥寥数语或几段文字概括。科学、艺术、技术，甚至数学都无法做到。但局外人可以通过从不同角度审视，并尝试一些业内人士的做法，逐步培养出对任何一个领域本质的深刻理解。这两种经验——学习和实践——不仅能帮助人们掌握在成年生活中广泛适用的技能，还能加深对领域的理解。
作为研究模式和关系的科学，数学与其他科学有很多共同之处，正如第一章“科学的本质”中所述。尤其值得关注的相似之处在于：它们都相信事物存在内在秩序，都秉持诚实和公开的研究报告原则，都重视同行的批评意见对新成果价值的评判，以及想象力所发挥的关键作用。此外，数学也像科学和技术一样，既包含对基本问题的探索，也包含对实际问题的解决。
数学的丰富性和普遍性是“2061计划”关注数学的基础。该计划方法的一个组成部分在《全民科学》和《科学素养基准》中均有体现。在这两份文件中，第二章概述了学生应该了解的数学知识；第九章建议学生应该掌握哪些数学概念；第十一章介绍了一些强大的数学概念，例如尺度和模型，这些概念作为分析工具被广泛应用；第十二章列出了学生需要掌握的数学技能以及科学和技术技能，以便有效地处理日常生活中的实际事务。当然，课程设置不会以这种方式将知识和实践割裂开来。
事实上，课程设计正是“2061计划”数学理念的另一重要组成部分。正如即将发布的报告《科学素养设计》中将详述的那样，“2061计划”课程的几乎所有组成部分都将包含数学。学生将在每个年级接触到数学，并在许多不同的学科和现实情境中学习数学（有些明确标明为数学，有些则没有）。
A. 模式与关系
宇宙由星系、山脉、生物、交通工具以及各种各样的事物构成，每一样都看似独一无二。此外，宇宙本身也是一片混沌，万物以各种方式相互交织，有时激烈，有时却又微妙。但得益于数学，人们得以思考这个由物体和事件构成的世界，并以展现统一性和秩序的方式交流这些想法。
数学世界中的数字、线条、角度、形状、维度、平均值、概率、比率、运算、循环、相关性等等，使人们能够理解一个原本看似无比复杂的宇宙。几个世纪以来，数学模式和关系不断发展完善，而这一过程如今依然像历史上任何时期一样充满活力和成效。或许这是因为，如今数学的应用领域比以往任何时候都更加广泛，并且在日常生活中也变得更加不可或缺。
为了提升学生的科学素养，重要的是：(1) 理解数学在何种意义上是对模式和关系的研究；(2) 熟悉一些模式和关系；(3) 学会将它们运用到日常生活中。后两个目标应该并行实现，而不是先后进行。大多数情况下，先抽象地学习数学再去应用它已被证明是无效的。因此，课程设置应该合理安排教学，使学生在正式学习数学之前、期间和之后，都能在各种不同的情境中接触到任何给定的数学模式或关系。
此后，为了更好地理解数学的本质，学生应不时有机会以纯粹抽象的方式反思数学中模式和关系的本质。个人或班级长期收集的模式和关系实例，可以作为反思的素材，帮助学生思考数学如何定义模式或关系，使其超越个体实例，更具力量。
数学家们创造和使用的各种思想，通常出于教学和概念上的考量，被归类为算术、几何、代数、三角、统计和微积分等学科。数学家们致力于在这些学科内部以及不同学科之间寻找能够连接不同思想（它们本身也是模式和关系）的模式和关系。在数学领域，鲜有成就能比证明先前被认为是两个独立部分的数学概念，实际上是同一个更抽象的表述的不同版本或平行版本更令人满足。如果条件允许，所有学生都应该有机会亲身体验发现一个概念可以用不同但相似的方式来表达。
一项关于人们如何学习的研究强调了对同一概念进行多种表征以及在不同表征之间转换的益处。当学生能够用表格、图表、符号和文字来表示某种关系时，我们就可以确信学生已经真正理解了其含义。而且，正如该理论所述，学生学习进行这些表征和转换的方式是在他们关心答案的情境中观察和练习。参与这类活动的学生最终会理解数学中的关联性——尽管他们可能偶尔需要回顾自己的工作，并意识到自己建立的许多联系。
幼儿园至二年级
在小学低年级，孩子们的思维方式非常具体，他们不太关注数学、科学和技术这类宏大的范畴，但通常乐于接受学习数字及其运算、识别形状和简单图案、收集和描述物品以及搭建各种东西等挑战。当然，在某个阶段，他们需要明白某些概念和活动是数学的，某些是科学的，还有一些是技术的。但当这种标签化过程远不如理解重要时，孩子们从一开始就学习数字、形状以及对它们的简单运算，并且尽可能在各种不同的情境中进行学习。
到二年级结束时，学生应该知道：
- 圆形、正方形、三角形和其他形状在自然界和人类建造的物体中都能找到。2A/P1*
- 图案可以通过将不同的形状组合在一起或将它们拆分来形成。图案可能出现在自然界和人类制造的物品中。2A/P2*
- 物体可以沿着直线、曲线、圆形、往复式和锯齿状的路径运动，或者可以被控制着运动。2A/P3
3至5年级
如果学习数学本质的基本策略是反思在不同情境下已学的知识，那么一种可行的方法是在教室里准备一份名为“我们在数学中做什么”的清单，并每月添加新的内容。清单上的内容可以不时进行分组，或者展示它们是其他内容的子集，或者展示它们与“我们在科学中做什么”和“我们在语言中做什么”等清单中的内容相似。如果想要弱化学科差异，另一种方法是使用“我们使用过的数字”、“我们使用过（或制作过）的形状”、“我们做过的观察”等等。
例如，数学列表可以先包含“计数”、“测量”、“估算”和“观察物体形状”，然后扩展到“加法”、“减法”等。之后，学生可以将“加法”、“减法”等归类到“数字运算”下，并将“绘制图表”、“展开数据”和“比较两组数据”归类到“分析数据”下。“测量”必须包含在数学和科学列表中，大多数数据项也必须包含在内，并且能够展示它们之间的联系。 “寻找模式”、“描述关系”和“给出理由”等项目将出现在语言列表以及其他列表中。通过这种方式，学生可以建立自己的数学知识库，并记录他们学习过的内容，而新来的学生也可以了解对他们的期望（以及相关的语言表达）。
到五年级结束时，学生应该知道：
- 数学是研究数量和形状的学科，可用于描述事件和解决实际问题。2A/E1*
- 数学思想可以用实物、图形或符号来表示。2A/E2
6至8年级
在低年级时，学生们在数学课上学习了数学模式和关系，希望他们也能在其他课程中接触到这些内容。到现在，他们应该已经积累了相当丰富的经验，能够制作数据表格、图表和几何图形，并能结合符号和清晰的语言，运用这些工具来描述各种各样的模式和关系。因此，学生们现在可以比以往更加专注于数学问题解决的创造性方面，并开始了解数学家是如何进行工作的。
学生们首先要开始反思他们在数学学习中所做的一切。学生小组应独立提出问题的解决方案，并相互比较，阐述和讨论彼此的差异。应鼓励各小组发明一些自己的计算方法。其结果之一可能是认识到不止一种方法有效。但不同的小组可能会对哪种方法最好产生强烈的意见——从而体验到历史上围绕数学抽象概念的争论所带来的激烈冲突。对数据集的研究应该能够让不同的学生小组发现其中不同的、甚至是相互矛盾的关系。学生们还可以开始设计自己的问题，并观察这些问题与其他学生感兴趣的问题有何不同。
对许多学生来说，最“优雅”的数学可能看起来也是最复杂的。需要反复强调，才能让他们明白，最简单的概念表示和联系方式往往才是数学家最看重的。然而，一个简单的数学联系可能需要经过非常繁琐且漫长的研究才能发现，这其中可能包括在问题的不同部分之间来回跳跃，有时甚至会陷入死胡同。
到八年级结束时，学生应该知道：
- 通常，解决数学问题并没有唯一正确的方法；不同的方法各有优缺点。2A/M1
- 数学的不同分支之间存在逻辑联系。2A/M2
9至12年级
除了反思个人解决问题的经验之外，还可以通过研究数学发展历程中的案例，来揭示数学运作的主要特征，以及数学研究所产生的各种模式和关系。学生有时可能会自行发现数学的奥秘，虽然这些发现不太可能是全新的，但应该大力鼓励他们，以激发他们可能展现出的数学天赋。
理解当今数学的本质——它仍然致力于发现新的模式和关系——对几乎所有学生来说都是一项挑战。现代理论数学或许需要通过它所解决的实际问题来引导学生，例如地图着色、航线优化、从模糊图像中恢复细节等等。如果学生认为适用于某一实际情境的抽象概念也适用于其他情境，那么从应用到抽象的教学过渡或许并不会动摇数学家关注的是理论的这一观念。
到12年级结束时，学生应该知道：
- 数学是研究数量和形状、数量或形状之间的模式和关系，以及对数量或形状进行运算的学科。其中一些关系涉及自然现象，而另一些则涉及与物理世界无关的抽象概念。2A/H1*
- 与其他科学领域一样，简洁性是数学中最重要的价值之一。一些数学家试图找到能够逻辑推导出许多其他命题的最小规则集。2A/H2
- 数学理论与应用相互影响。有时，实际问题会促使新的数学理论发展；而通常情况下，为数学本身而发展的理论最终也会得到实际应用。2A/H3
B. 数学、科学和技术
许多数学研究是出于其内在趣味，而非出于实用性。然而，大多数数学确实有应用，许多数学研究也受到应用问题的启发。科学技术提供了大量的此类应用和启发。科学家和工程师在工作中可能会尝试自行进行一些有用的数学运算，或者寻求数学家的帮助。这种帮助可能是推荐一些已经足够完善的数学模型，也可能是发展一些新的数学模型来完成这项工作。一方面，我们曾发现过一些为数百年前的数学模型找到新用途的杰出案例。另一方面，自然科学或技术的需求也常常催生出新的数学模型。
幼儿园至二年级
在低年级，学生们会观察、收集和分类物品、使用工具以及搭建模型。就他们的发展水平而言，他们正在从事科学活动并运用技术。在学校实践中，科学和技术应该有助于理解数学的价值，而数学也应该有助于开展科学和工程活动。如果学生经常接触科学和技术，他们就会清楚地认识到数学在科学技术领域的实用性。
此级别没有基准。
3至5年级
随着学生升入高年级小学和初中，互动应该更加频繁和深入。在学生的探究和设计项目中，绘制图表、制作表格和绘制比例图应该成为常规操作，几何和数学概念（例如垂直、周长、体积、幂、根和负数）的使用也应该成为常规操作。用于挑战学生的问题可以采用竞赛和游戏的形式，但至少部分问题应该直接源于正在学习的科学和技术。
此级别没有基准。
6至8年级
科学技术领域蕴藏着丰富的知识，是学习数学价值和培养数学问题解决能力的重要途径。但这并非唯一途径。艺术、音乐、社会研究、历史、体育、驾驶教育、家政以及其他学科也是学习和运用数学的合适场所。
到八年级结束时，学生应该知道：
- 数学在人类几乎所有活动中都发挥着作用——从砌砖到开药，再到画人脸。2B/M1*
9至12年级
这个年龄段的学生应该接触到数学如何促进科学技术进步的历史实例——反之亦然。这样的例子不胜枚举，无论学生正在学习什么数学，都能找到相关的例证。在某个阶段，应该特别关注数学模型在科学技术领域的应用。此外，课程设置也需要为学生提供机会，让他们能够明确地探究数学与科学技术之间的关系。
到12年级结束时，学生应该知道：
- 数学建模通过模拟拟建系统的运行方式来辅助技术设计。2B/H1*
- 数学和科学作为事业，拥有许多共同的价值观和特征：对秩序的追求、诚实和开放的理念、重视同事的批评，以及想象力所发挥的关键作用。2B/H2
- 数学提供了一种精确的语言来描述物体、事件及其相互关系。此外，数学还提供了解决问题、分析数据和进行逻辑论证的工具。2B/H3*
- 科学或技术的进步常常会激发数学创新，因为它们会带来新的待解决问题。2B/H4a
- 计算机技术的发展（其本身依赖于数学）在数学领域催生了新的问题和新的工作方法。2B/H4b
- 数学的发展往往会促进科学技术的创新。2B/H5
- 数学在商业、工业、音乐、历史研究、政治、体育、医学、农业、工程以及社会科学和自然科学等领域都非常有用。2B/H6** (SFAA)
C. 数学探究
数学家在做数学研究时究竟在做什么？大多数人对不同的职业都有一些了解，尽管细节可能不够准确，因为他们要么亲身接触过，要么通过书籍、电影和电视等途径间接了解过。然而，他们很少有机会亲眼目睹数学家的工作，或者听他们解释自己的工作内容。学习如何解决某些特定类型的、定义明确的数学问题对学生来说固然重要，但这并不能自动让他们全面理解数学研究是如何进行的。
数学可以被描述为一个旨在发展出有效数学思想的探究循环。这正是《全民科学》和《基准》本节所采用的方法。（第11章“共同主题”也涵盖了部分相同内容，其中探讨了数学模型以及物理模型和概念模型的应用。）
必须牢记，数学发现并非像科学发现一样，是由一套僵化的步骤构成的。诚然，数学探究迟早会涉及某些过程，但顺序并非固定不变，每个过程的侧重点也大相径庭。表征、操作和验证这三个循环环节，都应作为数学学习的组成部分进行独立研究。学生应有机会运用整个循环开展自己的数学探究。此举的目的并非培养专业的数学家，而是培养熟悉数学探究的成年人。
循环的每个环节都存在一些学习难点。许多学生认为用符号或表达式来表示事物仅仅是指“真实存在的事物”。“设A代表这间房间地板的面积”比“设Y代表任意矩形的面积”更容易被低年级学生理解。首先，必须让学生相信，用抽象符号代替实际量是值得的。然后，他们需要逐步认识到，用符号来表示抽象概念，以及抽象概念的抽象，在解决问题时同样有效。或许这意味着要让学生明白，在数学世界里，数字、形状、运算、符号以及概括符号集合的符号，都和积木、奶牛、美元一样“真实存在”。
关于操作，有两个条件对学生来说似乎自相矛盾。一是必须严格遵守一套规则；二是规则可以人为设定。这正是数学的严谨性和游戏精神的交汇点。想象一些量，赋予它们属性，选择一些运算，用符号表示一切，提出一个问题，然后，遵循既定的逻辑规则，移动这些符号，观察会出现哪些解。
但这些解决方案究竟有多好呢？这取决于具体情况——而这正是学生们可能难以理解的地方。他们习惯于解决那些步骤预先设定、答案“正确”的数学问题。但在真正的数学探究中，好的解决方案应该能够带来新的数学发现，或者在科学、医学、工程、商业或其他领域产生实际应用。因此，数学中的验证取决于判断，而非权威。而当一个解决方案不够令人满意时，问题可能不仅在于解题过程，还在于人们对“足够好”的理解，以及问题的表述方式。
幼儿园至二年级
应该经常使用实物来帮助孩子发现和解释符号关系。学生应该逐渐明白，数字和形状可以用来描述周围世界的许多事物。最终，他们应该认识到，正如字母和单词构成阅读和写作中的语言一样，数字和形状也构成数学中的语言。
到二年级结束时，学生应该知道：
- 数字和形状可以用来描述事物。2C/P1
3至5年级
日常使用实物对于帮助学生将真实事物和事件与抽象概念联系起来至关重要。经常参考现实世界的应用案例能够增强学生在脑海中想象和操作事物的能力。应该鼓励学生用数学的方式——用数字、形状和运算——来描述各种事物。
到五年级结束时，学生应该知道：
- 数量和形状可以用来描述我们周围世界中的物体和事件。2C/E1*
- 在使用数学时，必须选择哪些运算能得到最佳结果。结果的评判标准始终是其是否合理且有用。2C/E2
6至8年级
学生应该开始为物体（无论是否与数学相关）指定字母作为临时名称，以便在没有其他名称的情况下讨论这些物体。逐渐地，用符号代表某个特定未知数的概念可以扩展到用符号代表一组可能的未知数中的任何一个。毫无疑问，学生在学习新的数学知识时，经常需要回到具体的概念。
学生应探究某些数学模型在描述和预测现实世界事件方面的局限性。（数学建模结果不尽如人意可能是由于现实世界中不可预测的变化，也可能是由于使用了不恰当的数学模型。）应鼓励学生阐述自己对令人满意的结果的评判标准，并结合自身目的讨论这些判断。
应尽量减少问题的人为性，避免出现绝对正确的答案——这样才能通过数学上的尝试、评估和修正循环，不断改进解决方案并探索其他替代方案。应区分错误（例如错误的乘法运算）和最终被证明无效（但可以重新考虑）的合理选择。
到八年级结束时，学生应该知道：
- 数学家经常用抽象概念来表示事物，例如数字或完美的直线，然后仅基于这些概念进行研究。他们从中抽象出的“事物”本身也可以是概念（例如，关于“所有等边三角形”或“所有奇数”的命题）。2C/M1
- 当数学家运用逻辑规则处理事物的表征时，所得结果可能并不完全适用于事物本身。2C/M2a
- 运用数学解决问题需要选择使用哪种数学方法；可能需要做出一些简化假设、估计或近似；进行计算；然后检验答案是否合理。2C/M2b
9至12年级
为了避免学生认为任何科学或技术问题都存在一个最佳的数学模型，应该提供机会让他们发现多种数学描述同样适用。首先，可以通过让学生回顾他们之前解决问题的方法，来明确地考察数学推理的循环过程；之后，每当他们遇到新问题时，都应提醒他们注意这些方法。将某些数学概念比作一场规则任意的“游戏”，应该包含这样一种理念：游戏规则的选择是为了使结果既有趣又具有广泛的适用性。游戏规则本身不应相互矛盾——至少在预期的应用范围内不应如此。
到12年级结束时，学生应该知道：
- 数学中的一些工作很像一场游戏：数学家们选择一套有趣的规则，然后按照这些规则进行游戏，看看会发生什么。结果越有趣越好。对这套规则的唯一限制是它们不能相互矛盾。2C/H1
- 数学家的大部分工作都涉及一个建模循环，该循环包含三个步骤：（1）使用抽象概念来表示事物或思想；（2）根据某些逻辑规则对这些抽象概念进行操作；（3）检查结果与原始事物或思想的匹配程度。实际的思考过程并不一定遵循这个顺序。2C/H2*
- 为了能够有效地运用和解释数学，不仅需要关注抽象运算的数学有效性，还需要考虑它们与所表示事物的属性之间的对应关系。2C/H3** (SFAA)